In 1906 verscheen er een ingezonden brief van hem [Francis Galton] in het gerenommeerde wetenschappelijke tijdschrift Nature. De brief begint zo: “Bij Kerstmis hoort gebak en [ik] van mijn kant wil een beschrijving geven van een snijmethode die ik onlangs tot mijn eigen genoegen en tevredenheid heb bedacht.”… Galton wijst erop dat door de driehoekige benadering een deel van de overgebleven taart wordt blootgesteld aan de lucht, waardoor deze [dit deel] uitdroogt. “Het uitsnijden van een driehoekig stuk voldoet dan ook maar matig,” meent hij. Dus bedacht hij een meer wiskundig georiënteerde methode: rechthoekige stukken.
De kunst van het taartsnijden en andere wiskundige ontdekkingen.
Colin Stuart is een wiskundige en sterrenkundige die al vele boeken en publicaties op zijn naam heeft staan. In dit boek Getallen, 10 feiten die je zou moeten kennen legt hij in tien korte hoofdstukken belangrijke en opmerkelijke wiskundige ontdekkingen uit op een manier die zelfs voor een leek gemakkelijk te begrijpen is. Misschien is het voorbeeld van het taartsnijden, dat hij een hoofdstuk zeven bespreekt, niet eens het meest kenmerkende. Je hoeft immers geen natuurkundig of wiskundig genie te zijn om in te zien dat je een ronde vorm in twee gelijke stukken verdeelt als je een rechthoek uit het midden snijdt. Vervolgens kun je beide helften tegen elkaar aan schuiven zodat ze niet uitdrogen.
Stuart snijdt echter wel degelijk ingewikkelde wiskundige problemen aan, maar weet ze op een verrassend heldere manier uit te leggen. Bovendien laat hij zien dat deze problemen te maken hebben met alledaagse voorvallen. Dit betekent niet dat we hogere wiskundige inzichten nodig hebben om onze dagelijkse problemen op te lossen, maar alleen dat we deze problemen vanuit een wiskundig perspectief kunnen interpreteren.
De nul
Stuart beschrijft ook de historische achtergronden van de problemen en hun oplossingen. Hierdoor wordt de lezer met grote stappen door de geschiedenis van de wiskunde geleid. Een belangrijk voorval is bijvoorbeeld het invoeren van de nul als getal. De nul in de betekenis van niets is natuurlijk al tienduizenden jaren een onderdeel van de menselijke cultuur. In de tijd dat de mens door jagen en verzamelen aan zijn voedsel moest komen, wist iedereen al wat het betekende als de voorraad op was.
De Sumeriërs waren 5.000 jaar geleden de eersten die de nul als een apart schriftteken invoerden. Getallen boven de negen, zoals bijvoorbeeld het getal 5.000, werden geschreven als veelvouden van 10 waarbij de plaats de waarde aangaf. Dit doen we nu nog steeds. Het getal 5.000 betekent dus vijf keer duizend plus nul keer honderd plus nul keer tien plus nul keer een. Dit is de betekenis van de nullen. Zonder de nullen zouden we voor vijf duizendtallen alleen het getal vijf kunnen opschrijven en het alleen kunnen onderscheiden van vijf eenheden door er een apart woord of teken bij te zetten. De Sumeriërs begonnen het getal te schrijven als “5 . . .”, waardoor deze extra tekens of woorden niet meer nodig waren.
Het duurde echter tot de zesde eeuw voordat een brahmaan in India de nul niet alleen erkende als een zelfstandig getal, maar bovendien beschreef hoe je er mee kunt rekenen. Daarmee werd de nul pas een echt getal zoals de andere, al heeft hij nog steeds een paar bijzondere eigenschappen. De meeste lezers zullen zich bijvoorbeeld nog wel herinneren uit hun middelbareschooltijd dat je niet door nul kunt delen.
De geschiedenis van de wiskunde
De lezer wordt in het boek geconfronteerd met steeds ingewikkelder wiskundige problemen. Het begint met de oorsprong van de wiskunde zelf: het tellen. In eerste instantie gebruikte men er zijn eigen lichaam voor, zoals bijvoorbeeld vingers of tenen. Vervolgens bespreekt Stuart de geschiedenis van de nul en van het priemgetal om dan over te schakelen naar de meetkunde. Daar is de cirkel altijd een interessante figuur geweest. De meeste lezers zullen zich nog een beetje meetkunde van de middelbare school kunnen herinneren, maar dit is wel meetkunde op een plat vlak. Je kunt ook meetkunde bedrijven op een bol of een hol oppervlak en dan veranderen de wetten op een verrassende manier. Vervolgens bespreekt de schrijver problemen uit de topologie, die ten grondslag liggen aan de routebeschrijvingen die we op onze mobiele telefoon krijgen. In een volgend hoofdstuk lezen we waarom ons gevoel ons altijd bedriegt bij het berekenen van onze kansen. De exponentiële groei, die we nog kennen uit de grafieken waarin de kans op besmetting door COVID werd uitgedrukt, komt ook nog aan de beurt. Stuart sluit zijn boek af met een hoofdstuk over het begrip oneindigheid, een onderwerp waar bijna alles tegen je gevoel ingaat en de logica lijkt te tarten.
Echt of verzonnen?
Het is een mooi boekje, bestemd voor een breed publiek. Het is vlot geschreven en de uitleg en de voorbeelden zijn duidelijk en spreken tot de verbeelding. Aan het begin van het laatste hoofdstuk staan er alleen een paar kleine foutjes die verwarring kunnen stichten. Het is ook niet zo dat met dit boek al je vragen over de wiskunde worden beantwoord, integendeel aan het eind rijzen er misschien nog wel meer vragen dan je in het begin had.
Een van de oorzaken van de fascinerende werking die de wiskunde op ons heeft, is dat we voortdurend heen en weer getrokken worden tussen wat filosofen noemen idealisme en nominalisme. Het idealisme is de opvatting dat getallen en wiskundige begrippen echt bestaan. We zijn gewend te zeggen dat een priemgetal wordt ontdekt. Dit betekent dat we veronderstellen dat het nog onbekende priemgetal er al is voordat het ontdekt wordt, want iets dat niet bestaat kun je niet ontdekken. Het nominalisme zegt daarentegen dat wiskundige begrippen menselijke verzinsels zijn. Stuart beschrijft bijvoorbeeld hoe getallen ontstaan doordat mensen tellen en legt uit dat je verschillende manieren hebt om te tellen en dus verschillende soorten getallen. Als dus niemand op het idee was gekomen om te gaan tellen, hadden we ook geen getallen gehad en daarmee geen wiskunde.
Dit heen en weer getrokken worden tussen idealisme en nominalisme merk je heel goed als je het hoofdstuk over oneindigheid leest. Aan de ene kant lijkt oneindigheid iets dat echt bestaat. Het heelal is immers oneindig en ook het leed van alle levende wezens in deze wereld. Als je naar de blauwe lucht staart, voel je oneindigheid. De wiskunde erkent echter verschillende oneindigheden, waarvan de ene groter is dan de andere. Sommige oneindigheden maken zelfs deel uit van een andere oneindigheid. Logisch lijkt dit de kloppen, maar je gevoel zegt je dat het hier alleen maar gaat om een gegoochel met begrippen zonder enige betekenis. Wiskundigen zullen dan direct protesteren dat deze begrippen wel degelijk betekenis hebben. Dit komt doordat ze het begrip ”betekenis” opvatten als het functioneren binnen de wereld van de wiskunde en betekenis niet in verband brengen met de wereld van de alledaagse ervaring.
Staat de wereld van de wiskunde dan helemaal los van die van de alledaagse ervaring? Dat is natuurlijk ook weer niet het geval. Wiskundige begrippen en getallen functioneren in ons alledaagse leven, maar dit komt doordat wij ze zelf toepassen. Het bestaansrecht van een onderneming wordt bijvoorbeeld afgemeten aan de hoogte van de winst die wordt gemaakt. Die winst bestaat bij de gratie van een boekhouding. Bij andere soorten menselijke activiteiten, zoals bijvoorbeeld bij het verliefd worden of bij het opvoeden van kinderen, wordt er geen boekhouding gevoerd en bestaat er dus ook geen winst of verlies. Sommige mensen vinden dat maar moeilijk te begrijpen, omdat ze niet kunnen ophouden met tellen. De Franse filosoof Georges Bataille sprak hier zelfs van het vervloekte deel van het bestaan (La Part Maudite).
Conclusie
Zo opent zelfs een boekje over getallen veel filosofische perspectieven. De wiskundige kennis die de lezer van dit boekje nodig heeft, is niet meer dan die van het theorie niveau van een technische opleiding. Het boek laat echter zien dat de invloed van wiskunde op ons dagelijks leven groot is en dat deze in de toekomst nog verder zal groeien. Denk maar eens aan al die algoritmes die overal opduiken. We kunnen daarom de schrijver dankbaar zijn voor dit boek.
