Spelen met oneindigheid, verrassende figuren en patronen

Bij het beschrijven van wetenschappelijke inzichten ligt meestal “de nadruk op de resultaten, bijvoorbeeld over exotische deeltjes zoals neutrino’s, onverwacht gedrag in verre sterrenstelsels, of foto’s van zwarte gaten, of de vondst van een nieuw grootst bekend priemgetal. Wat ik zelf vooral mis bij dergelijke beschrijvingen is dat het alleen gaat over de resultaten die als leek maar half kunt begrijpen en helemaal geen gevoel geeft voor de weg daar naartoe … in de uiteindelijke publicaties ligt de nadruk op de verkregen resultaten, en is vaak van het enorme gepuzzel en de vele mislukte pogingen weinig meer zichtbaar.” (bladzijde 17)

De schrijver van dit boek, Hans Zantema, was hoogleraar wiskunde en informatica. In de 40 jaar dat hij onderzoek deed heeft hij zich met veel zaken beziggehouden die niet zo gemakkelijk aan leken uit te leggen zijn. Hij kwam echter ook vaak verrassende observaties tegen waarvoor geen specialistische kennis nodig is. In dit boek wil hij de lezer ‘betrekken in een wetenschappelijk avontuur’ waarbij de resultaten van deze observaties worden uitgelegd. De lezer wordt bovendien af en toe uitgenodigd om met opdrachten zelf aan de slag te gaan. Het bijzondere van dit boek is dat de schrijver de lezer afraadt om het van begin tot eind in een ruk uit te lezen. Dit deed hij zelf ook niet met de artikelen die hij onder ogen kreeg. Sommige stukken sloeg hij over, omdat hij ze niet relevant vond, maar hij kon ook een hele dag een enkele pagina bestuderen. Het boek bevat wiskundige figuren, wiskundige bewijzen, puzzels, probleemstellingen en allerhande theorieën. Zantema is er zich van bewust dat niet iedereen dezelfde interesses heeft en hij vindt het prima als lezers gedeeltes van het boek overslaan.

Getallen

Het begrip oneindigheid heeft mensen altijd gefascineerd. Het is onvoorstelbaar, gaat alle begrippen te boven, maar lijkt aan de andere kant toch ook weer voor de hand te liggen. Het is bijvoorbeeld niet moeilijk om in te zien dat je tot in het oneindige kunt doortellen. Als iemand zegt dat hij het grootste getal heeft gevonden, kun je deze persoon eenvoudigweg corrigeren door bij dit grootste getal een op te tellen. Dit is eigenlijk een weerlegging door middel van inductie. Het gaat er namelijk niet om hoe groot het grootste getal is, maar om het feit dat je bij elk getal altijd iets kunt optellen. Dit wil zeggen: welk getal je ook kiest, dat getal plus een is opnieuw een getal. Inductie betekent hier dat je iets aantoont van een bepaald getal en dan laat zien hoe dat er geldt voor het volgende getal. Dit geldt dan ook voor het getal dat daar weer achteraankomt en daarmee weet je hoe het zit met de rest van de getallen, ook als die rest oneindig groot is.

Met behulp van deze methode van inductie bewijst Zantema vervolgens dat het rekenen dat we op de lagere school hebben geleerd echt klopt. Dit laatste is goed nieuws, maar daarom gaat het hem natuurlijk niet. Hij wil de lezer laten zien hoe elegant deze manier van bewijsvoering kan zijn.

In het derde hoofdstuk komen de negatieve getallen en de breuken aan de beurt en vervolgens de zogenaamde reële getallen, waaronder de wortels en het getal π. Dit getal heb je nodig om de omtrek van een cirkel te berekenen, het is de middellijn vermenigvuldigd met π.

Ik moet eerlijk bekennen dat ik bij het lezen van de beide hoofdstukken over de zogenaamde numerieke wiskunde het advies van Zantema heb opgevolgd en niet alle redeneringen tot in de details heb gevolgd.

 Oneindigheid

Hoe zit het nu met het oneindige? Om te beginnen merkt Zantema op dat er verschillende soorten oneindigheid bestaan. Als voorbeeld noemt hij het zogenaamde Hilbert-hotel, vernoemd naar de wiskundige David Hilbert. Dit is een denkbeeldig hotel met oneindig veel kamers. Als deze allemaal bezet zijn en er meldt zich een nieuwe gast, dan zou hij of zij op het eerste gezicht geen kamer kunnen krijgen. Dit lukt echter wel met een bepaald trucje: laat iedere gast verhuizen naar de kamer ernaast. Deze is er altijd, anders zouden er niet oneindig veel kamers zijn. De eerste kamer komt dan vrij. Als dit met een enkele nieuwe gast lukt, moet dit echter ook lukken met oneindig veel nieuwe gasten. De ene oneindigheid slokt de andere dus op. De moraal van dit verhaal is dat het begrip ‘vol’ moeilijk toe te passen is op iets dat oneindig is. Een eenvoudiger voorbeeld, dat niet met zoveel woorden in het boek genoemd wordt, is dat het omgekeerde van elk getal tussen nul en een ligt. Het omgekeerde van een getal krijg je door er een ‘gedeeld door’ van te maken, dus het omgekeerde van het getal 5 is het getal 1/5. Er liggen dus oneindig veel getallen tussen 0 en 1, net zoveel als tussen 1 en oneindig.

Figuren

In hoofdstuk zes komen eindelijk de stapfiguren aan de beurt en dan wordt het boek voor de leek wat aantrekkelijker om te lezen, alhoewel de theorie al gauw een beroep doet op wiskunde voor gevorderden. Ik denk tenminste niet dat de gemiddelde lezer zijn kennis van de goniometrie nog paraat heeft. Zantema introduceert de lezer nu in de edele kunst van het programmeren, met name in de programmeertalen Python en Lazarus. Deze kun je eenvoudig op je computer installeren en je hebt geen bijzondere kennis nodig om ermee te werken. Hierdoor kan de lezer die er een laptop of computer bijhaalt, zelf de figuren op het scherm toveren.

De eenvoudigste patronen krijg je als je gebruik maakt van herhalende rijen van getallen. Als je het toeval in het spel brengt, worden de patronen grilliger. Een ander soort figuren krijg je door de spiraalrijen, rijen die op een regelmatige manier veranderen. Je staat ervan versteld als je ziet hoeveel verschillende mooie figuren er ontstaan als je de getallen laat variëren. Daarbij is enige begeleiding onontbeerlijk, want niet elke waarde levert een mooi plaatje op. Zantema probeert uit te leggen waarom dit zo is, maar daarbij heeft hij een hoop formules nodig en dat is alleen besteed aan een geduldige lezer met een stevige wiskundige ondergrond.

Fractalen

Een bijzonder soort stapfiguren zijn de oneindige figuren die niettemin een vast patroon hebben. Zantema noemt ze fractalen en een bekend voorbeeld ervan zijn de Mandelbrotfiguren. Dit zijn holistische figuren, dat wil zeggen dat in elk willekeurig stukje de complete figuur weer terug te vinden is. Fractalen zijn tekeningen die bestaan uit patronen die op regelmatige manier steeds in de tekening terugkomen, maar die oneindig ver door kunnen gaan. Een van de eerste wiskundigen die dit soort figuren ontdekte was de Zweedse wiskundige Helge von Koch. Hij kwam op het idee om een lijn in drie stukjes te verdelen en het middelste te vervangen door twee lijnen die even lang waren als bij de andere, dus ___ wordt _/\_. De nieuwe lijn is net zo lang als de vorige en dat betekent dat je dit proces kan toepassen op de vier lijnstukken van de nieuwe figuur en dit verder oneindig lang kunt herhalen. Als je hier wat mee speelt krijg je zelfs figuren die lijken op een sneeuwvlok.

Conclusie

Er zijn op internet heel veel afbeeldingen van fractalen en Mandelbrotfiguren. Je hoeft alleen maar het woord in een zoekmachine in te typen en je krijgt de meest fantastische afbeeldingen te zien. Het is mooi dat er nu over de achtergrond en de wiskunde ervan een boek in het Nederlands is verschenen. Het is echter voor het grootste deel een boek voor mensen die redelijk ingevoerd zijn in de wiskunde en gewend zijn aan het wiskundige taalgebruik. Het is bovendien opgezet als een wiskunde boek, met veel formules, stellingen en bewijzen. Je moet als lezer bovendien wel van wiskundige puzzels houden. Het is dus een boek met een beperkte doelgroep, maar voor iemand die daar deel van uitmaakt een interessant ‘wetenschappelijk avontuur’.